💬 2. La scacchiera persiana

Nella versione che conosco io, quello che sto per raccontare accadde nell'antica Persia. Ma sarebbe potuto accadere anche in India o persino in Cina. Comunque siano andate le cose, parliamo di un fatto che avvenne molto tempo fa. Il Gran Visir, consigliere particolare del re, aveva inventato un nuovo gioco che si giocava muovendo le pedine su una scacchiera quadrata composta da sessantaquattro quadrati rossi e neri. La pedina più importante era quella del re; la seconda pedina più importante era quella del Gran Visir (ovvio, visto che si trattava di una sua invenzione). Obiettivo del gioco era catturare il re nemico, da cui il nome persiano shahmat – dove shah sta per re e mat per morte. Morte al re. In russo, il gioco viene tuttora chiamato shakhmat, residuo, forse, di uno spirito rivoluzionario duro a morire. Persino in inglese il nome reca ancora le tracce di quella parola straniera (la mossa finale, scacco matto, si chiama checkmate). Stiamo ovviamente parlando degli scacchi. Con il passare del tempo, le pedine, le loro mosse e le regole del gioco si sono modificate; non esiste più, ad esempio, un Gran Visir: al suo posto c'è la regina, pedina dai poteri straordinari.

Perché un re dovesse essere entusiasta dell'invenzione di un gioco chiamato «morte al re» rimane un mistero. Tuttavia, così narra la storia, la cosa gli piacque a tal punto che chiese al Gran Visir che cosa desiderasse come ricompensa per la sua meravigliosa invenzione. Il Gran Visir fu pronto nella risposta: era un uomo modesto, disse allo Shah, e in quanto tale si accontentava di una ricompensa modesta. Indicando le otto colonne e le otto file di quadrati sulla scacchiera che aveva inventato, chiese che gli venisse dato un chicco di grano per il primo quadrato, due per il secondo, il doppio di due per il terzo e così via fino a raggiungere l'ultimo quadrato. No, protestò il re, è troppo poco per un'invenzione così straordinaria. Gli offrì gioielli, danzatrici, palazzi, ma il Gran Visir, abbassando gli occhi, rifiutò ogni profferta. Voleva solo pochi mucchietti di grano. Così, stupito in cuor suo per l'umiltà e la parsimonia del suo consigliere, il re acconsentì.

Quando però il guardiano del granaio reale iniziò a contare i chicchi, il re si trovò di fronte a un'amara sorpresa. Il numero di chicchi, che all'inizio era piuttosto contenuto – 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024... – giunti al sessantaquattresimo quadrato era divenuto colossale, impressionante. Aveva in effetti raggiunto la ragguardevole cifra di quasi 18,5 miliardi di miliardi. Forse il Gran Visir seguiva una dieta particolarmente ricca di fibre...

Quanto pesano 18,5 miliardi di miliardi di chicchi di grano? Se ipotizziamo che ogni chicco misura un millimetro, tutti i chicchi insieme peserebbero circa settantacinque miliardi di tonnellate metriche, quantità che supera di gran lunga la possibile capienza dei granai dello Shah. Si tratta infatti dell'equivalente di circa centocinquant'anni dell'attuale produzione mondiale di grano. Il resoconto di quel che avvenne in seguito non giunse mai fino a noi: se il re, in difetto, maledicendosi per aver trascurato lo studio dell'aritmetica, abbia consegnato il regno al Visir, o se questi abbia subito le tribolazioni di un nuovo gioco chiamato vizirmat, non ci è dato sapere.

La storia degli scacchi persiani può essere una semplice fiaba. Ciò non toglie, tuttavia, che gli antichi Persiani e gli Indiani fossero grandi matematici e padroneggiassero perfettamente i grossi numeri risultanti da operazioni successive di moltiplicazione per due. Se gli scacchi avessero avuto cento (10 x 10) anziché sessantaquattro (8 x 8) quadrati, il debito in chicchi di grano avrebbe raggiunto il peso della Terra. Una sequenza di numeri come questi, in cui ciascuno è un multiplo fisso del precedente, si chiama progressione geometrica e il processo viene definito crescita esponenziale.

Gli esponenti vengono utilizzati negli ambiti più disparati, più o meno vicini alla nostra vita di tutti i giorni: ad esempio gli interessi composti. Poniamo il caso che, duecento anni fa o poco dopo la Rivoluzione americana, un vostro antenato abbia depositato in banca per voi 10 dollari, cifra che ha maturato ogni anno un interesse del 5%: oggi, vi ritrovereste con un capitale del valore di 10 dollari x (1,05)²⁰⁰ = 172.925,81 dollari. Sono pochi tuttavia gli avi che hanno così tanto a cuore le fortune dei loro remoti discendenti, e 10 dollari erano una cifra ragguardevole all'epoca. (1,05²⁰⁰ significa semplicemente 1,05 volte moltiplicato 200). Se quel vostro antenato avesse spuntato un tasso del 6%, oggi vi ritrovereste con un gruzzolo di oltre un milione di dollari; con il 7%, avreste più di 7,5 milioni di dollari; e nell'improbabile caso che fosse riuscito a estorcere il 10%, il vostro capitale ammonterebbe oggi a ben 1,9 miliardi di dollari.

Lo stesso accade con l'inflazione. Se il tasso è il 5% annuo, un dollaro varrà 0,95 dollari dopo un anno, (0,95)² = 0,91 dollari dopo due anni; 0,61 dollari dopo dieci anni; 0,37 dopo venti e così via. Sono aspetti tutt'altro che teorici, ad esempio per i pensionati, il cui reddito prevede ogni anno un'entrata fissa non agganciata all'inflazione. [...]
✦ Carl Sagan. Miliardi e miliardi. Baldini & Castoldi, 1998